Comprendre et s’entraîner en mathématiques
Travaille les limites, les dérivées et les suites en suivant une méthode complète : domaine, calcul, justification et conclusion.
3 fiches · Exemples et exercices corrigésLimites et continuité
La limite d’une fonction décrit la valeur vers laquelle elle se rapproche lorsque la variable approche un nombre ou l’infini. Commence par repérer le domaine de définition ; la valeur de la fonction en un point n’est pas toujours nécessaire pour étudier sa limite en ce point.
Une substitution directe peut produire une forme indéterminée comme 0/0. Dans ce cas, simplifie l’expression lorsque c’est possible, par exemple en factorisant, en regroupant les fractions ou en utilisant une expression conjuguée. Précise sur quel domaine la simplification est valable.
Exemple guidé
Pour x ≠ 3, considère f(x) = (x² − 9) / (x − 3).
- Factorise : x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
- Pour x ≠ 3, f(x) = x + 3.
- Donc la limite de f(x) quand x tend vers 3 est 6, même si la formule initiale n’est pas définie en 3.
Une fonction est continue en un point si elle y est définie et si sa limite en ce point est égale à sa valeur. Ici, on pourrait prolonger f par continuité en posant f(3) = 6.
À toi de jouer
Calcule la limite de (x² − 4) / (x − 2) lorsque x tend vers 2.
Voir la correction
Pour x ≠ 2, on simplifie (x − 2)(x + 2) / (x − 2) = x + 2. La limite est 4.
Dérivation et variations
La dérivée permet d’étudier le taux de variation local d’une fonction. Sur un intervalle où une fonction est dérivable, une dérivée positive indique qu’elle est croissante ; une dérivée négative indique qu’elle est décroissante. L’étude du signe doit être faite sur le domaine considéré.
La méthode : détermine le domaine, calcule f′(x), résous f′(x) = 0, étudie le signe de la dérivée puis construis le tableau de variations. Une dérivée nulle en un point ne suffit pas, à elle seule, à prouver un extremum.
Exemple guidé
Soit f(x) = x² − 4x + 1 sur ℝ.
- f′(x) = 2x − 4, qui s’annule pour x = 2.
- f′ est négative si x < 2 et positive si x > 2.
- f décroît puis croît : son minimum est f(2) = −3.
À toi de jouer
Pour g(x) = x² − 6x + 2, trouve la dérivée et la valeur minimale sur ℝ.
Voir la correction
g′(x) = 2x − 6. Elle change de signe de − à + en 3 ; le minimum est g(3) = 9 − 18 + 2 = −7.
Suites numériques
Une suite associe un nombre uₙ à chaque entier de son domaine. Elle peut être donnée par une formule explicite ou par récurrence, c’est-à-dire à partir d’un terme initial et d’une relation reliant deux termes consécutifs.
Une suite est arithmétique lorsque l’on ajoute toujours une même raison r ; elle est géométrique lorsque l’on multiplie toujours par une même raison q. Vérifie l’indice du premier terme avant d’utiliser une formule.
Exemple guidé
Si u₀ = 5 et r = 3, alors u₄ = 5 + 4 × 3 = 17. Si v₀ = 2 et q = 3, alors v₃ = 2 × 3³ = 54.
Si le premier terme donné est u₁, adapte l’indice : uₙ = u₁ + (n − 1)r pour une suite arithmétique. Pour étudier une limite, examine la formule et les hypothèses ; une suite géométrique de raison −1, par exemple, alterne et ne converge généralement pas.
À toi de jouer
Une suite arithmétique vérifie u₁ = 7 et r = 2. Calcule u₄.
Voir la correction
u₄ = u₁ + (4 − 1)r = 7 + 3 × 2 = 13.
Pour aller plus loin
Ressources de référence en anglais pour approfondir les notions :
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